k-এর কোন মানের জন্য 2x - y + 7 = 0, 3x + ky - 5 = 0 সরল রেখা দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব হবে? (For what value of k, the straight lines 2x - y + 7 = 0 and 3x + ky - 5 = 0 will be perpendicular to each other?)

দুইটি সরলরেখা কখন পরস্পর সমান্তরাল বা লম্ব হবে, তা নির্ধারণ করার জন্য তাদের ঢালের গুণাবলী বিশ্লেষণ করা হয়। নিচে এই শর্তগুলি বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হলো:

১. দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হওয়ার শর্ত

দুটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি তাদের ঢাল সমান হয়।

যদি সরলরেখা \( L_1 \) এবং \( L_2 \)-এর ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তাহলে রেখাদুটি সমান্তরাল হবে যদি:
\[
m_1 = m_2
\]

উদাহরণ:
ধরুন, সরলরেখা \( L_1 \) এবং \( L_2 \)-এর সমীকরণ যথাক্রমে \( y = 2x + 3 \) এবং \( y = 2x - 5 \)। এখানে, উভয় রেখার ঢাল \( m = 2 \)। সুতরাং, \( L_1 \) এবং \( L_2 \) রেখাদুটি পরস্পর সমান্তরাল।

২. দুইটি সরলরেখা লম্ব হওয়ার শর্ত

দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হবে যদি তাদের ঢালের গুণফল \( -1 \) হয়।

যদি সরলরেখা \( L_1 \) এবং \( L_2 \)-এর ঢাল যথাক্রমে \( m_1 \) এবং \( m_2 \) হয়, তাহলে রেখাদুটি পরস্পর লম্ব হবে যদি:
\[
m_1 \times m_2 = -1
\]

অথবা, \( m_2 = -\frac{1}{m_1} \)।

উদাহরণ:
ধরুন, একটি সরলরেখার সমীকরণ \( y = 3x + 2 \), যার ঢাল \( m_1 = 3 \)। যদি আরেকটি সরলরেখা \( y = -\frac{1}{3}x + 4 \) হয়, তাহলে এর ঢাল \( m_2 = -\frac{1}{3} \)। এখানে,
\[
m_1 \times m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1
\]
অতএব, এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব।

সংক্ষেপে:

• সমান্তরাল রেখা: \( m_1 = m_2 \)
• লম্ব রেখা: \( m_1 \times m_2 = -1 \)

এই শর্তগুলির মাধ্যমে দুইটি রেখার সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।